求线段长度的方法总结过的同学都清楚，一共四种，按照学习的先后顺序分别是面积法、勾股定理、相似和解直角三角形。这四种方法又可以分为两类，相似单独作为一类，另外三种归为一类。为什么把三个归为一类呢？它们都是在单个三角形中求解，都需要90°角，而相似是两个三角形的相似，也不一定是直角三角形。求线段长度的题型可以作为一个专题细细来讲。今天我们就举一个例子，综合的，是两个或更多求线段长度方法的结合。
已知，在边长为1的圆内接正方形ABCD中，P为边CD的中点，直线AP交圆于点E。求弦DE的长。（摘自初中新学案优化与提高数学九年级B本）
之所以选择此题讲解，很大原因是因为问题是求弦DE的长，在DE前面有一个“弦”字，它往往会把问题引到垂径定理和勾股定理求弦长上来。当然这并不是不可解，只是增加了解决问题的难度。顺着这个思路，会去作辅助线：确定圆心O，然后连结OD，作OF⊥DE于点F。先发现勾股定理的话，半径可求，弦心距OF不可求，思路到这里基本算终结了；但仔细观察后，发现不然，△ODF是可以利用圆周角定理证明与△APD相似的！
第二种方法，如果在多考虑一点，线段DE不仅仅是弦，也是三角形的边，它是△ADE和△PDE的一条边！再结合已知条件，由圆做辅助，连接AC（AC是一条特殊的线段，不仅是圆的直径，还是正方形的对角线），容易证明△APC∽△DPE，利用对应边成比例求线段DE的长度。这里实质上也是构造一组相似三角形，但无论是从辅助线添加的条数上，还是从证明和计算的难度上，都比第一种方法简单简洁。
第三种方法，从已知条件圆内接正方形入手，知∠E=45°，是特殊角。另外在△ADE中，∠DAE的三角函数值也是可求的，AD=1，所以过点D作DF⊥AE于点F，构造90°角，利用解直角三角形，可以轻松解题。
该题目的解法还有很多，大家可以集思广益，提供更多简便的方法。
也希望更多的学生能发现数学的规律，运用数学的规律，享受发现和运用数学的规律带来的乐趣！接上一帖子
